幂等矩阵的特征值

知识点 2022-01-29 21:03:54 16 作者：文/李傲

导读：0或者1。幂等矩阵的特征值只可能是0，1。若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

0或者1。幂等矩阵的特征值只可能是0，1。若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

幂等矩阵的主要性质：

幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

幂等矩阵可对角化；

幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

可逆的幂等矩阵为E；

方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

设A₁，A₂都是幂等矩阵，则(A₁+A₂)为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂)=R(A₁)⊕R(A₂)；N(A₁+A₂)=N(A₁)∩N(A₂)；

设A₁，A₂都是幂等矩阵，则(A₁-A₂)为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂)=R(A₁)∩N(A₂)；N(A₁-A₂)=N(A₁)⊕R(A₂)；

设A₁，A₂都是幂等矩阵，若A₁·A₂=A₂·A₁，则A₁·A₂为幂等矩阵，且有：R(A₁·A₂)=R(A₁)∩R(A₂)；N(A₁·A₂)=N(A₁)+N(A₂)。

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